Каждый радиолюбитель хоть раз, но сталкивается с необходимостью перерасчета катушек индуктивности при перестройке и ремонте приемников различной конструкции. Попробуем разобраться в вопросе проведения правильных расчетов.
1.Зависимость индуктивности катушки от ее геометрических размеров.
Проанализируем формулу для расчета однослойной катушки индуктивности:
L = 0,01w2D/(l/D + 0,44) (I)
В нее входят три переменные: число витков w, диаметр витка D (см) и длина намотки l (см) от которых зависит L. Если мысленно изменять размеры катушки так и чтобы она оставалась геометрически подобной самой себе (при этом w и отношение l/D сохраняются), то L будет изменяться прямо пропорционально изменению D. Таким образом, индуктивность любых геометрически подобных катушек прямо пропорциональна их линейным размерам.
Для многослойных и других типов катушек индуктивности эта закономерность сохраняется. Каждый интересующийся может это проверить самостоятельно.
2.Зависимость добротности катушки от ее геометрических размеров.
Радиолюбители знают, что чем больше катушка, тем большей добротностью она обладает (при прочих рамных условиях). Однако какова эта зависимость? Во сколько раз надо увеличить размеры катушки, чтобы се добротность возросла в 2, 3,5 раз? Этот вопрос, ввиду некоторой громоздкости и "тоскливости* расчетов в общем виде рассмотрим на конкретном примере. Предположим, имеется однослойная катушка индуктивности со следующими характеристиками:
W1- 20;
D1 - 1 см;
l1 - 1см;
D1- 0,5 мм (d1 — диаметр провода).
Здесь и далее толщиной лаковой изоляции провода пренебрегаем. Согласно (I), ее индуктивность — L1 = 0,01х202х1/ (1/1+0,44) = 2,78 мкГн). Определим ее добротность, например, на частоте f = 5 МГц, Известно, что добротность:
Q = RL1/RAl , (2), где:
- RL1 — индуктивное сопротивление катушки на частоте f;
- RА1 — ее активное сопротивление на этой же частоте.
RL1 = 2p fL = 2x3,14х5x106x2,78x10-6 = 87,3 (Ом).
Для нахождения RА1 необходимо знать:
- во-первых, сопротивление катушки постоянному току R1;
- во-вторых, отношение RАl/R1 зависящее от ряда других параметров [1],
Сначала определим (по закону Ома):
R1 = rbl/S1 (3),где:
r
- 0,017 Oм мм2/м — удельное сопротивление медного провода;
b1 — длина провода b1 = p D1w1 = 3,14x1х 20 = 62,8 (см.) = 0,628 м;
S1 — площадь сечения провода S1 = d12/4 = 3,14х0,52/ 4 = 0,196 (мм2). Итак. R1 = 0,017x 0,0628/0,196 = 0,0544 (Ом),
Согласно (1) для 1,5<k1<10
RA1/R1) = 0,997k1 +0,277, где:
k1 = r1/2d = d1/4d (4)
(здесь d — эффективная толщина токопроводящего поверхностного слоя на частоте f. Опуская подробный расчет, d укажем лишь что для меди на частоте f = 5 МГц d = 0,0149мм. Подставляя значения d1 и d в (4), получим:
k1 = 0,5/(4x0,0149) = 8.839
Отсюда:
RA1/R1 = 0,997x 8,39+0,277 = 8,64.
Следовательно, RA1 = 8,64хR1-8,64x0,0544 = 0,47 (Ом).
Подставляя в (2) значения RL1 и RA1 получим:
Q1 = 87,3/0,47 = 186
А сейчас зададимся следующим условием: разрабатываемая конструкция позволяет разместить катушку диаметром лишь 5 мм. Согласно закономерности, сформулированной вр.1 настоящей статьи, индуктивность катушки диаметром D2 - 5 мм, геометрически подобной первой катушке диаметром D1, равна (0,5/1)х2,78 = 1,39 (мкГн).
Чтобы восстановить прежнюю индуктивность с условием, что l2/D2 = l1/D1) необходимо, как это легко видеть из (1) - увеличить в Ц 2 раз число витков. При этом диаметр провода d2 уменьшится по сравнению d1 в 2Ц 2 раз: в 2 раза — за счет уменьшения вдвое диаметра и длины второй катушки и еще в Ц 2 раз — за счет увеличениям такое же число раз числа витков (размещенных на длине 5 мм).
Итак, имеем:
W2-28,3;
D2-0,5 см;
l2-0,5 см;
d2-0,176 мм
Убедимся, что при этом индуктивность второй катушки не изменяется, т.e. равна L подставив указанные данные в (1):
L = 0,01х28,32х0,5/(0,5/0,5 + 0,44) = 2,78 (мкГ).
Следовательно, RL2 также не изменилось, т.е., RL2 = 87,3 Ом.
По аналогии с первой катушкой находим. что
b2 = p D2w2 = 3,14x 0,5х 28,3 = 44,5 (см), т.е. b2 = 0,45м;
S2 = 3,14х0,1762/4 = 0,0245 (мм2);
R2 = 0,017x0,445/0,02454) = 0,307 (Ом)
Далее определяем k2 = d2/4d = 0,176/(4x0,0149) = 2,93
Следовательно, RА2/R2) = 0,997 x 2,93 + 0,277 = 3,20
Отсюда:
RA2 = 3,20х0,3074 = 0,982 (Ом);
Q2 = 87,3/0,962 = 89, а Q1/Q2 » 2.
Итак, мы видим, что при неизменной индуктивности добротность геометрически подобных катушек также прямо пропорциональна их линейным размерам. Некоторая неточность (Q1 /Q2 = 2,09, а не 2,00) вкралась из-за того, что в рассмотренном примере величины d и d, а также d и D различаются лишь на один порядок. Однако, поскольку "погрешность" приведенной закономерности, как правило меньше 10 % (в нашем случае — даже менее 5 %), этой закономерностью вполне можно пользоваться на практике.
Кроме того, реальная добротность зависит не только от потерь на преодоление "омического" сопротивлении, но и ряда других факторов, например, потерь на излучение, которые снижаются при уменьшении размеров (а также и добротности!) катушки. Этот эффект несколько "замедляет" падение добротности при уменьшении размеров катушки индуктивности, т.е. приведенная закономерность достаточно точна.
3. Зависимость эквивалентного сопротивления контура от ее геометрических размеров катушки индуктивности
До тех пор мы говорили, казалось бы, о главных характеристиках катушек: индуктивности и добротности, поскольку от этих параметров, а первую очередь зависят частоты и полосы пропускания колебательных контуров, в состав которых они входят. Однако реальных радиотехнических цепях важным налается также эквивалентное сопротивление контура на рабочей частоте, т.к. от его значении зависит качество согласования цепей по сопротивлению, токовые режимы каскадов, нелинейные искажения, а следовательно, и динамический диапазон и т.д.
Известно, что эквивалентное сопротивление контура Rэ = RLQ (5), (здесь и далее считаем, что конденсатор, входящий в состав колебательного контура, не имеет потерь, т.е. его Qc Þ
Е; иными словами, добротность контура всецело определяется добротностью его катушки индуктивности).
В частности, для двух рассмотренных в р.2 катушек:
RЭ1 = RL1Q1 = 87,3х186 = 16200 (Ом) =16,2 кОм;
RЭ2 = RL2Q2 = 87,3x89 = 7770 (Oм) = 7,77 кОм.
Таким образом, эквивалентное сопротивление контура, как и его добротность, изменяется прямо пропорционально изменению геометрических размеров входящей в состав этого контура катушки индуктивности.
Получили третью закономерность. Она интересна вот чем. Допустим, мы имеем схему какого-то радиоприемника обычных размеров. Положим, мы решили "скопировать" принципиальную схему, но сделать приемник "карманного" размера, в связи с чем, кроме всего прочего в 2 раза уменьшили диаметр и высоту катушек индуктивности (по сравнению с исходным вариантом).
Мы можем без дополнительных расчетов заранее знать, что их добротность уменьшилась в 2 раза (а значит, избирательность по зеркальному каналу, к примеру, ухудшилась на 6 дБ при одном контуре на входе, на 12дБ — при двух контурах и т.д.). Уменьшение же в 2 раза эквивалентного сопротивления контуров приемника даст возможность без пересчета режимов работы коллекторных цепей каскадов питать карманный приемник примерно и 2 раза более низким напряжением чем исходный что, кстати, и наблюдается на практике, хотя и но другим причинам — из-за габаритов батарей).
4. Зависимость эквивалентного сопротивления контура от количества витков и диаметра провода катушки (при неизменных D и L)
Пусть одна катушка — L1, данные которой приведены выше. Другая — L3; она отличается от L1 только тем, что имеет 10 витков (w3 = 10) провода диаметром d3 = l мм. Таким образом, ее индуктивность
L3 = 0,01x102x1/(1/1+0,44) = 0,694 (мкГн).
Индуктивное сопротивление катушки на частоте 5 МГц
RL3 = 2p
fL3 = 2х3,14х5х106х0,694х10-6 = 21,8 (Ом),
Точный расчет активного сопротивления (на частоте 5 МГц) опускаем виду его громоздкости. Приблизительно же его можно определить, рассуждая следующим образом. За счет уменьшения вдвое длины провода в 2 раза уменьшается активное сопротивление RА; за счет увеличения вдвое диаметра провода RA уменьшается еще в 2 раза. В итоге общее уменьшение RА — в 4 раза т.е.
RA3 = 1/4х RA1 = 0,47/4 = 0,118 (Ом).
Соответственно,
Q3 = 21,8/0,118 = 185 »
Q1
Таким образом, получилась четвертая закономерность: добротность контура, вопреки распространенному мнению, не зависит от диаметра провода его катушки индуктивности (при D, l = const!).
Найдем эквивалентное сопротивление RЭ3 = RL3хQ3 = 21,8x185 = 4030 (Ом) = 4,03 кОм — в 4 раза меньше, чем RЭ1, а посему пятая закономерность гласит: эквивалентное сопротивление колебательного контура обратно пропорционально квадрату диаметра провода или пропорционально сечению провода его катушки индуктивности (при D, l -const).
Вернемся к нашему примеру конструирования карманное приемника на базе "обычного". Ранее мы определили, что RЭ2 »
0,5хRЭ1. Мы также знаем, что добротность контура не изменяется, если намотать контурную катушку проводом любого диаметра (при неизменных D и l). Допустим еще, что мы не желаем снижать напряжение питания карманного приемника и поэтому хотели бы оставить RЭ4 = RЭ1 = 16,2 кОм. т.е. увеличить его в 2 раза (округленно!) по сравнению с RЭ2. Из пятой закономерности мы знаем, что для этого надо в Ö
2 раз уменьшить диаметр провода контурной катушки;
d4 = 0,176/Ö
2 = 0,325 (мм).
Соответственно, число ниткой увеличивается во столько же раз и достигает w4 = 40. Индуктивность возросла и двое
L4 = 0,01x402x0,5/(0,5/0,5 +0,44) = 5,55 (мкГн).
Значит, вдвое придется уменьшить емкость контурного конденсатора. Итак, закономерность шестая: для сохранения эквивалентного сопротивлении контура при изменении его геометрических размеров в и раз следует в n2 раз изменить диаметр провода контурной катушки, одновременно изменим в n-1 раз число ее витков. При этом, как уже отмечалось, и т раз изменяется добротность контура и в n-1 — его полоса пропускания.
Можно ли все же использовать каркасы меньших диаметров без снижения добротности? Разумеется, можно, но для этого потребуется либо сильно увеличить длину катушки (что обычно конструктивно невозможно или нецелесообразно), либо выполнить намотку двух (много) слойной. Это несколько хуже (из-за увеличения собственной емкости катушки), но лучше, чем тратить драгоценное время на поиски каркасов нужного диаметра.
Использование рассмотренных закономерностей позволяет более свободно ориентироваться в "море" типоразмеров катушек индуктивности, "мгновенно" делать необходимые пересчеты, а также в ряде случаев объяснить, почему, например, ваш аппарат имеет худущую избирательность и "динамку", чем указано, а описании, хотя транзисторы вы подобрали "самые - самые" и настройку производили весьма тщательно и "по приборам".
Н. Башаримов, (EU7LT)
Литература:
1. Яворский Б. М., Детлаф А. Л. Справочник по физике- — M.: Наука, 1968. — с. 940
